প্রদত্ত বক্ররেখা $y=2x-x^2$ -এর জন্য x-এর মান 3 একক/সেকেন্ড হারে বৃদ্ধি পেলে বক্ররেখার কীভাবে পরিবর্তিত হবে?

বক্ররেখার সমীকরণটি হলো: \(y = 2x - x^2\)

প্রদত্ত, x-এর মান বৃদ্ধির হার \(\frac{dx}{dt} = 3\) একক/সেকেন্ড।

আমাদের y-এর পরিবর্তনের হার (\(\frac{dy}{dt}\)) নির্ণয় করতে হবে। এর জন্য প্রথমে y কে x-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করতে হবে:

\(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2x - x^2)\)

\(\frac{dy}{dx} = 2 - 2x\)

এখন, চেইন রুল (Chain Rule) ব্যবহার করে t-এর সাপেক্ষে y-এর পরিবর্তনের হার নির্ণয় করব:

\(\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}\)

\(\frac{dy}{dt} = (2 - 2x) \cdot 3\)

\(\frac{dy}{dt} = 6 - 6x\)

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে বক্ররেখার পরিবর্তনের হার (\(\frac{dy}{dt}\)) x-এর মানের উপর নির্ভরশীল। যেহেতু প্রশ্নে x-এর নির্দিষ্ট কোনো মান উল্লেখ করা হয়নি, তাই বক্ররেখাটি ক্রমবর্ধমান নাকি ক্রমহ্রাসমান হবে এবং এর পরিবর্তনের হার কত হবে, তা নিশ্চিতভাবে বলা সম্ভব নয়। x-এর মানের উপর ভিত্তি করে এটি ক্রমবর্ধমান, ক্রমহ্রাসমান অথবা স্থির (0 একক/সেকেন্ড) হতে পারে।

যেমন:

    
• যদি \(x < 1\) হয়, তবে \(\frac{dy}{dt} > 0\), অর্থাৎ বক্ররেখাটি ক্রমবর্ধমান হবে। উদাহরণস্বরূপ, যদি \(x=0\) হয়, তাহলে \(\frac{dy}{dt} = 6 - 6(0) = 6\) একক/সেকেন্ড (ক্রমবর্ধমান)। এটি প্রথম অপশনের সাথে মিলে যায়।
    
• যদি \(x > 1\) হয়, তবে \(\frac{dy}{dt} < 0\), অর্থাৎ বক্ররেখাটি ক্রমহ্রাসমান হবে। উদাহরণস্বরূপ, যদি \(x=2\) হয়, তাহলে \(\frac{dy}{dt} = 6 - 6(2) = 6 - 12 = -6\) একক/সেকেন্ড (ক্রমহ্রাসমান, 6 একক/সেকেন্ড হারে)। এটি দ্বিতীয় অপশনের সাথে মিলে যায়।
    
• যদি \(x = 1\) হয়, তবে \(\frac{dy}{dt} = 6 - 6(1) = 0\) একক/সেকেন্ড, অর্থাৎ বক্ররেখাটি স্থির (সর্বোচ্চ বিন্দুতে)।

যেহেতু প্রশ্নে x-এর মান উল্লেখ করা হয়নি এবং বিভিন্ন x-মানের জন্য বিভিন্ন অপশন সঠিক হতে পারে, তাই প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই এককভাবে সঠিক নয়। প্রশ্নটি অসম্পূর্ণ বা ত্রুটিপূর্ণ।